考慮一個二次方程式
$$ \begin{equation} x^2 =mx + n \tag{1.1-1} \end{equation} $$
在中學時期我們就已經學過如何求解 (1.1-1) 我們只需要使用廣為人知的一元二次方程式
$$ \begin{equation}ax^2 +bx +c = 0 \tag{1.1-2}\end{equation} $$
其解的公式 (quadratic formula) 為
$$ \begin{equation}x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \tag{1.1-3}\end{equation} $$
對於給定的一元二次方程式 (1.1-1) ，對應到方程式 (1.1-2) 的形式寫得 $a=1, b=-m, c=-n$，因此我們可以使用式 (1.1-3) 得出
$$ \begin{equation}x = \frac{m\pm\sqrt{m^2 + 4n}}{2} = \frac{m}{2} \pm \sqrt{\frac{m^2}{4} +n} \tag{1.1-4}\end{equation} $$
方程式 (1.1-1) 的解所代表的幾何意義為拋物線 $y =x^2$ 與直線 $y =mx + n$ 的交點，透過下面的小程序中， 拖動下面的滑塊 $m$ 與 $n$，觀察交點 $x_0$ 和 $x_1$ 會發生什麼。
https://www.geogebra.org/m/xmfb5wbe
$$ \text{GeoGebra 1 : 一次方程式 ＆ 二次方程式} $$
從上圖觀察，解存在於下面三種情形：