我們首先將複數 (complex number) 視為由實數組成的有序對，其乘以任意實數的作法，與在歐氏平面 $\R^2$ 相同，亦即

定義1.2-1. 設 $z$ 為複數 ($z\in\mathbb{C}$)，即存在有 $x,y \in \R$ 使得 $z=(x,y)$ ，且對任意 $\alpha \in\R$ ，則有

      $\\alpha z = \\alpha(x,y)=(\\alpha x,\\alpha y).$

和我們在高中使用的符號 $z=x+i y$ 比對一下，則有 $1=(1,0)$、$i=(0,1)$ 以及 原點 $z=0$ 表為 $0=(0,0)$。

GeoGebra 1: 複數乘以實數倍圖示

https://www.geogebra.org/m/v23vnkep

複數的四則運算定義如下：

定義1.2-2. 設 $z_1=(x_1,y_1),z_2=(x_2,y_2)\in \mathbb{C}$ ，則在複數上的四則代數運算定義如下：

$``="$ $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\iff x_1=x_2, y_1=y_2,$

$``+"$ $z_1+z_2=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),$