棣美弗 (De Morivre’s) 定理： 對任意的有理數次方，下式 棣美弗公式 (De Morivre’s identity) 成立：

$$ \begin{equation} (\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i \sin n\theta,\quad \forall n\in\mathbb{Q} \tag{1.4-1} \end{equation} $$

• [證明]

當 $n=2$ 時，棣美弗 (De Morivre’s) 公式可圖解如下：

https://www.geogebra.org/m/byhxh5hj

Geogebra 1: 驗證當 $n=2$ 時棣美弗公式成立

複數的次方

利用棣美弗公式，透過 Euler 公式(1.3-8)可以快速得知

$$ (e^{i\theta})^n =(\cos\theta +i \sin \theta)^n = \cos n\theta+i \sin n\theta = e^{in\theta}. $$

若 $z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，對任意的 $n\in\R$ ，則 $z$ 的 $n$ 次方 (nth power) 計算如下：

$$ \begin{equation*} z^n=(re^{i\theta})^n=r^n (e^{i\theta})^n =r^ne^{in\theta} \end{equation*} $$