在本節首先討論複數平面上的基本點集拓樸，主要應用來建立複數極限的觀念。例如計算欲計算函數$f(z)$ 在 $z_0$ 點的極限值等於 $L$，即

$$ \lim_{z\to z_0}f(z)=L $$

時我們會碰到 $z\to z_0$ 的過程，有無限多條可能從 $z$ 到 $z_0$ 的路徑 (一條曲線)，因此需先討論從 $z$ 到 $z_0$ 的曲線。

曲線

   曲線可從其參數化來定義：

$\begin{aligned} \mathscr{C}:~z:&[a,b]\to\mathbb{C} \\ &t\mapsto z(t)=x(t)+i y(t) \end{aligned}$，此處 $z(t)$ 稱為曲線 $\mathscr{C}$ 之參數化。一般而言對應的 $x(t)$ 與 $y(t)$ 都是 $t$ 的連續函數時，因此 $z(t)$ 也會是連續函數。

      **圖1.5-1:** 以參數化映射呈現曲線

相關名詞定義如下： 起點(initial point) $z(a) = x(a)+i y(a)=z_a$，

終點(terminal point) $z(b) = x(b)+i y(b)=z_b$，

值域 (range) $\text{Range }z=\stackrel{\Large\frown}{z_a z_b}=\{z(t)|t\in[a,b]\}$ 就是指曲線 $\mathscr{C}$ 本身 。

定義1.5-1. 曲線 $\mathscr{C}$ 為閉合曲線(closed curve)的充要條件為曲線 $\mathscr{C}$ 的起點與終點重合 ($z_a = z_b$) 。

定義1.5-2. 曲線 $\mathscr{C}$ 為平滑曲線(smooth curve)的充要條件為曲線 $\mathscr{C}$ 的參數化函數 $z(t)$ 在 $[a,b]$ 上可微(differentiable)時，即 $x(t)$ 與 $y(t)$ 在 $[a,b]$ 上可微。