複數函數

複數函數 $f$ 是複變數 $z$ 的函數，函數值 $f(z)=w$ 亦是複數，所有變數 $z$ 所成之集合稱為 $f$ 的定義域 (domain) $D_f$。對 $D_f$ 的每一個點 $z$，對應唯一之複數 $w$，此種函數 $f$ 稱為單值函數 (single-valued function)，或簡稱函數。然而當對 $D_f$ 中某些點對應多個複數 $w$，此種函數 $f$ 稱為多值函數 (multiple-valued function)。對於 $z\in D_f$ 所有點 $f(z)$ 所成之集合稱為值域 (range) $R_f$。

$$ \begin{align*} f:~D_f\subset \mathbb{C}&\to R_f\subset \mathbb{C} \\ z&\mapsto f(z) \end{align*} $$

函數關係如下圖所示：

圖2.1-1: 函數 $w=f(z)$ 之映射關係

例題2.1-1. 試問 下列哪些是定義在整個複數平面 $\mathbb{C}$ 之函數？

(1) $f_1(z)=\text{Arg}(z)$， (2) $f_2(z)=\text{Re}(z)$， (3) $f_3(z)=\text{Im}(z)$， (4) $f_4(z) = \ln|z|+i \text{Arg}(z)$。

• [解]

例題2.1-2. $f_1(z)=\arg z,~f_2(z)=\text{Arg}~z, ~f_3(z)=z^{\frac{1}{2}}$，何者為單值？何者為多值？

• [解]

定義2.1-1. 若 $z_1 \neq z_2 \implies f(z_1)\neq f(z_2)$，則稱 $f$ 為一對一(1-1, one-to-one)或單射(injective) 函數。

定義2.1-2. $f$ 在 $w\in \mathbb{C}$ 之預像 (preimage, inverse image) 定義為 $f^{-1}(\{w\})=\{z\in D_f ~| ~ f(z)=w \}$。又 $f$ 在集合 $H\subset \mathbb{C}$ 之預像為 $f^{-1}(H)=\{z\in D_f ~| ~ f(z)\in H \}$。