假設 $z=r e^{i\theta}\neq 0$，先討論最簡易的冪次函數 $w=f(z)=z^2$ 。此函數之極式表示法為
$$ w=f(z)=z^2=r^2e^{2i \theta}. $$
當 $w$-平面亦採極式表示 $w=\rho e^{i\phi}$，則亦上述的平方映射可以由下列連立方程是來代表
$$ \rho = r^2\quad\text{~及~}\quad \phi=2\theta. $$
因此是複數函數 $w=f(z)=z^2$ 將 $z$-平面上通過原點角度為 $\theta$ 之幅射線對應到 $w$-平面之幅射線，唯角度變為 $2\theta$。如此一來，當 $\theta$ 從$-\pi/2$ 變到 $\pi/2$ 時， $\phi$ 已經是從 $-\pi$ 到 $\pi$，亦充滿了整個w-平面。因此不是 $f(z)$ 不是1對1了，此外，注意 $f(1)=1$ 以及 $f(-1)=1$，故此函數為多對一函數，無法從 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 上定義反函數。
Geogebra 1: 觀察平方函數映射情形。以下的 Geogebra 可以讓我們嘗試去瞭解平方函數的映射情形。
https://www.geogebra.org/m/gc4b9mrh
函數 $w=f(z)=z^2$ 之圖形，除了上述的映射外，可以透過3D來呈現 $|w|$，$\mathrm{Arg}(w)$, $\mathrm{Re}(w)$ , $\mathrm{Im}(w)$ 等隨 z 之變化情形，如下所示：
https://www.geogebra.org/classic/rfkuzyyj?embed
選擇
$$ \begin{align*} A&=\{r e^{i\theta} ~|~ r\ge 0,-\frac{\pi}{2}<\theta\le \frac{\pi}{2} \},\\ B&=\{\rho e^{i\phi} ~|~ \rho\ge 0,-\pi<\phi\le \pi \}=\mathbb{C} \end{align*} $$
則 $f:A\to B:z\mapsto w=f(z)=z^2$ 為1-1且映成，因此其反函數存在，定義如下
$$ z=f^{-1}(w)=w^{\frac12}=\begin{cases} |w|^{\frac12} e^{i\frac12 \text{Arg~}w}, & w\neq 0, \\ 0, & w=0. \end{cases}\tag{2.2-1} $$