設 $f:D_f\subset \mathbb{C}\to R_f\subset\mathbb{C}$，本節討論此函數的極限與連續的性質，亦即

1. $f$ 在 $z_0$ 之極限值為 $L$，即 $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=L$，
2. f 在 $z_0$ 連續，即 $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(\lim\limits_{z\to z_0}z)=f(z_0)$，說明連續函數計算極限時，函數和極限計算的次序可以互換。

這裡主要重點在$z\to z_0$，是如何從$z$出發逼近$z_0$，以及不同的逼近軌跡不應該影響極限取值。

極限

由於 $f(z) = f(x+i y)=f(x,y)=u(x,y)+ i v(x,y)$，亦即此函數的實部與虛部均為兩個變數實函數，因此在討論複數函數極限時，先複習雙變數實函數的極限規則。

雙變數實函數極限

已知雙變數實函數 $u(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 之極限為 $u_0$，其定義為

$$ \begin{align*} &\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} u(x,y)=u_0 \\ %&\Longleftrightarrow %\forall %\varepsilon>0,~\exists\delta>0\te%xt{~s.t.~}\forall(x,y)\in %D_\delta^(x_0,y_0) \implies %u(x,y)\in D_\varepsilon(u_0) \\ &\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0,~\exists~\delta>0\text{~s.t.~}0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\implies |u(x,y)-u_0|<\varepsilon. \end{align} $$

如何運用這個定義？真實問題，有時需轉換到極座標的情形來討論

$$ \begin{align*} &\lim_{(r,\theta)\to (r_0, \theta_0)} u(r,\theta)=u_0 \\ %&\Longleftrightarrow %\forall %\varepsilon>0,~\exists\delta>0\te%xt{~s.t.~} 0< |r-r_0|<\delta %\implies u(r,\theta)\in %D_\varepsilon(u_0) \\ &\Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0,~\exists~\delta>0\text{~s.t.~} 0< |r-r_0|<\delta \implies |u(r,\theta)-u_0|<\varepsilon. \end{align*} $$

從上面的式子可以看到出：極限存在與否和趨近與角度無關。以下舉例說明。

例題2.3-1. 證明 $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{2 x^3}{x^2+y^2}=0$ 。

• [證明]

例題2.3-2. 說明 $\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{2 x^2}{x^2+y^2}=0$ 不存在。