當 $w=f(z)$ 是一個多值函數時， $f$ 的一個分支 (branch) ，便是由 $f$ 定義在某區域內所得的單值函數 $f_0$，即在此區域內的 $z$ 點 對應到值域中 $f(z)$ 的一個值；亦即設 $D_f \subseteq \mathbb{C}$ ，

$$ \begin{align*} f_0: D_f\subseteq D &\to \mathbb{C} \\ z&\mapsto w=f_0(z)= f(z) \text{~之一個值} \end{align*} $$

本節以函數 $f(z)=z^{\frac12}, z\neq 0$ 為主進行以下討論。對應的定義域為 $D_f = \mathbb{C}\setminus \{0\}$ 且定義

$$ f_1(z) = |z|^\frac12 e^{i\frac{\text{Arg~}z}{2}} = r^\frac12 e^{i\frac{\theta}{2}}=\rho e^{i\phi}=\rho \cos\phi+i \rho \sin\phi,\quad -\frac{\pi}{2}<\phi\le \frac{\pi}{2}, $$

其中 $z=r e^{i\theta}, -\pi<\theta=\mathrm{Arg}~z\le \pi$ 與 $\rho = r^\frac12, \phi=\frac{\mathrm{Arg}~z}{2}=\frac{\theta}{2}$，此 $f_1$ 稱為主平方根函數(principal square root function)。另外定義

$$ f_2(z) = |z|^\frac12 e^{i\frac{\text{Arg~}z+ 2\pi}{2}} = r^\frac12 e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)}=\rho e^{i\phi}=\rho \cos\phi+i \rho \sin\phi,\quad \frac{\pi}{2}<\phi\le \frac{3\pi}{2}, $$

其中 $\phi=\frac{\mathrm{Arg}~z}{2}+ \pi$，此 $f_2$ 稱為平方根函數(square root function)。當然是需要，可以將此 $\phi$ 利用同位角的關係可改成表示為

$$ \frac{\pi}{2}<\phi\le \frac{3\pi}{2} \implies -\pi<\phi\le -\frac{\pi}{2},~~ \frac{\pi}{2}<\phi\le \pi. $$

此處函數 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 稱為 $f(z)$ 之分支。注意兩個分支函數之間滿足下列關係：

$$ f_2(z)=r^{\frac12}e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}=r^{\frac12}e^{i\frac{\theta}{2}}\cdot e^{i\pi}=-r^{\frac12}e^{i\frac{\theta}{2}}=-f_1(z). $$

又 $r\ge 0, \theta=-\pi$ 所代表的負 $x$ 軸 (含原點) 稱為分支 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 之分支切割 (branch cut)，這上面的點為 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 的不連續點。此外，原點 $z=0$ 稱為此函數之分支點 (branch point)。說明圖形如下：

圖2.4.1: 平方根函數之兩個分支映射關係

為何 $r\ge 0, \theta=-\pi$ 所代表的負 $x$ 軸上的點為 $f_1(z)$ 的不連續點？設 $z_0\neq 0$ 落在負 $x$ 軸上，則存在 $r_0>0$ 使得 $z_0 = r_0 e^{i\pi}$，此時