基本性質

本節討論下列稱為互反變換 (reciprocal transform) 的函數：

$$ \begin{align*} f:\mathbb{C}\setminus\{0\} &\to \mathbb{C}\\ z&\mapsto w=f(z)=\frac1z \end{align*} $$

此函數為1-1，又若 $z=r e^{i\theta}$、$w=\rho e^{i\phi}$，則有 $\rho=1/r, \phi=-\theta$，下圖為直觀的函數呈現：

圖2.5-1: 互反變換

觀察此圖可得：

• 當 $r>1$ 時 (圓外的點) 對應到圓內的點 $\rho=\frac1r<1$，
• 順時針繞($\theta \nearrow$)變成逆時針繞($\phi=-\theta \searrow$)。

例題2.5-1. 計算區域 $A=\left\{ z ~|~ \text{Re~}(z)\ge \frac12\right\}$ 在映射 $w=f(z)=\frac1z$ 作用下之值域。

• [解]

例題2.5-2. 計算例題2.5-1所設定的區域 $A$ 和 $\overline{D}_1(\frac12)$的交集，經過互反變換之鏡像。

• [解]

接著討論廣義圓 (generalized circles) 在 $w=\frac1z$ 作用後之鏡像，即討論$z$-平面上的廣義圓：