無窮遠點 $\infty$ 不在複數平面上，加上無窮遠點的複數平面稱為擴充複數平面 (extended complex plane)，記作 $\cnums_\infty=\cnums \cup \text \{{\infty}\}$(或是記為 $\overline{\mathbb{C}}$ 或 $\hat{\mathbb{C}}$)。擴充複數平面 $\cnums_\infty$ 上的運算：
由於納入了$\infty$，對任意的 $z \in\mathbb{C}$，增加以下的運算：
加法：$z+\infty=\infty$；
乘法：$z\cdot\infty=\infty$，$\infty\cdot \infty=\infty$；
除法：$z/0=\infty$，$z/ \infty=0$；
但 $\infty-\infty$；$0\cdot\infty$ 視為沒有定義，此外雖然 $\infty$ 沒有乘法反元素，仍然採取 $\infty/=\infty$ 以及 $0/\infty=0$ 的運算。
事實上我們可以建立 $\cnums_\infty$ 的直觀幾何圖形。考慮一個半徑為 $1$ 的球面 $\mathbb{S}^2$ ，方程式為：
$$ x^2+y^2+z^2=1 $$
其中點 $(0,0,1)$ 稱為北極 (North pole)，記作$\textit{N}$，而南極(South pole)座標則為$S(0,0,-1)$，令 $xy$-平面表示複數平面 $\cnums$ ， 從 $\mathbb{S}^2$ 到 $\cnums$ 的投影圖示如：
圖2.6-1: 球極平面投影圖示 (球心在複數平面的原點)
對於 $\cnums$ 上之任一點 $z$，與 $N$ 連接為直線只交 $\Bbb S^2$ 於一點；反之球面上任一點 $P$，與 $N$ 連接的直線恰交 $\cnums$ 於一點，除 $N$ 之外我們可以在複數平面 $\cnums$ 及球面 $\mathbb{S}^2$ 上的點作一個 $1\text{-}1$ 對應，設這一個對應關係為 $\varphi$ :
$$ \begin{aligned} \varphi: &\cnums \rightarrow \mathbb{S}^2\setminus \{{N}\} \\ &z=x+yi \longmapsto P(\alpha,\beta,\gamma) \end{aligned} $$
設 $P$ 為除 $N$ 之外球面上任意一點。$\overrightarrow{NP}$ 與 $\cnums$ 交於 $z=x+yi$ ，在空間對應於 $(x,y,0)$ 。由 $\overrightarrow{NP}$ 平行於 $\overrightarrow{Nz}$ 得