複數經過幾代的數學家努力，以及科學家與工程師的合作，才將相對的理論發展完成。這個理論應用在流體、電路、力學、電磁學，甚至於量子力學的領域。本章將從一元三次方程式的求解，回顧複數的發展簡史，說明複數的幾種表示方式，同時也說明複數之冪次方與開方根的計算，章末提到複數平面上的拓樸以及在球極平面投影的作用下，讓擴充的複數平面和黎曼球面間的能一一對應關係。
1.1 複數簡史 (The History of Complex Numbers)
1.2 複數的代數運算(The Algebra of Complex Numbers)
1.3 複數的幾何表示 (Geometric Representation of Complex Numbers)
1.4 複數的次方與方根 (Power and Root of Complex Numbers)
1.5 複數平面上之拓樸 (Topology on the Complex Plane)
本章學習自變數為複數的函數的定義以及各種性質，如函數的圖形、極限、連續等基本知識 ；再進一步說明次方、根號、倒數、指數、對數等特殊函數的相關性質。
2.1 函數與線性映射 (Functions and Linear Mappings)
2.2 $w=z^n$與$w=z^{\frac1{n}}$之映射 (Mappings)
2.3 極限與連續性 (Limits and Continuity)
2.4 函數的分支 (Branches of Functions)